概率论学习笔记（2）

（距离上篇文章有段时间了，最近回答了相关问题，刚好再写一篇补完上次的文章）

概率论的基础知识点有许多，诸如差事件、包含关系、对偶律、可逆公式等等，但都可以归为两类：事件的性质与计算、概率的性质与计算。

所有内容都是围绕着'事件"、“概率”这两者展开的。正确把握它们之间的关系是理解本章的关键：“凡是概率，都是事件的概率。”

上一篇文章讲过，概率的公理化定义是一个关于事件与概率值的映射。就像函数有因变量与自变量一样，事件作为这个映射的因变量，每一个事件都对应一个概率的值，与之对应的概率。如同把数字代入函数求出函数值一样，我们要做的就是求出事件对应的概率值。

而事件，有简单的事件，也有复杂的事件，很多复杂的事件是没法直接求概率的，这也就是考点所在。我们要通过事件的运算与关系，把求一个事件的概率转化成求另一个事件的概率，这在做题时通常就是化简事件（举例:事件 (A+B)(B+C) 化简为 AC+B ），即题目求一个难以直接计算的复杂事件概率，你用事件的加、减、交换律、对立、德摩根对偶律等等把它化简成一个容易求概率的简单事件，再得出概率。

事件虽然有概率学的意义应用概率论，但事件的运算与关系用的是集合论的表示与实现的。例如下图的和、差、积等等。

事件的运算

而概率计算有五大公式：

1、减法公式

2、加法公式

3、乘法公式

4、全概率公式

5、贝叶斯公式

除此之外概率还有两个公式分布是条件概率公式、概率独立公式。除了加减法公式是用集合论的方法得出的，其他所有公式都来自于条件概率公式。

所以就算说概率公式其实只有一个也不为过，这也就是这次这篇文章的重头戏，下面就从条件概率公式说起，讲完所有概率公式。什么是条件概率呢？设A、B是两个事件，A发生的条件下，B发生的概率，叫做条件概率，记为 P(B|A) ，计算公式为 P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)} 。非常简单的一个公式，只有最基本的乘除法，A发生条件下B发生的概率，等于两者共同发生的概率除以A发生的概率，而这个公式将推出所有公式。（一旦接受了这个设定，推出包括贝叶斯公式在内所有公式都非常简单了。）

首先说说乘法公式，概率的乘法公式是 P(AB)=P(B|A)P(A) ，没错，它其实和条件概率是同一个公式，只是把作为发生条件的P(A)乘到等号另一边去了。把同一个等式从除法形式改写成乘法形式，一个新公式就诞生了。

接下是独立性公式，两个事件A和B相互独立，即发生事件A对事件B的概率完全没有影响，那么A发生条件下B发生的条件概率就还是B，记为 P(B|A)=P(B) ，把P(B|A)=P(B)代入刚刚讲过的乘法公式，就会得到 P(AB)=P(B)P(A) ，这就是独立事件的概率公式了，也是为什么我们可以求两个独立事件同时发生概率时直接把两个概率分别相乘的理论基础。

说完了条件概率公式推出的两个最简单的公式，接下来就是全概率公式和贝叶斯公式了。全概率公式其实用的还是条件概率公式，只是把事件B拆成了很多份，一般在需要分情况讨论时使用，可用集合表示为如下图所示：

需要求概率的事件，被拆成了很多与其他事件的交集，公式表示为：

P(B)=P(BA_{1}+...+BA_{n})=P(BA_{1})+...+P(BA_{n})

因为有条件概率公式P(BA)=P(A)P(B|A)，原式代入条件概率后可得：

P(BA_{1})+...+P(BA_{n})=P(A_{1})P(B|A_{1})+...+P(A_{n})P(B|A_{n})

即P(B)=从第一个交集一直加到第n个，由于这个式子是个累加计算，从1一直累加到n可以用累加符号 \Sigma 表示，即写成：

P(B)=\sum_{i=1}^{n}{P(A_{i})P(B|A_{i})}

这就是全概率公式了。

最后要讲的是大名鼎鼎的贝叶斯公式，贝叶斯公式的实质是讨论A发生条件下B发生的概率，跟B发生条件下A发生的概率有什么关系。两个条件概率，你知道了一个，就能去反推另一个，做个形象的比喻就是“下雨有云”反推“有云下雨”。具体的公式证明如下，首先B发生条件下A发生的概率为 P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} ，反过来A发生条件下B发生的概率则为 P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)} 。

那么 P(A|B) 与 P(B|A) 这两者之间有什么关系呢，由于这两个式子都含有P(AB)，所以把分母乘过去后可以通过P(AB)连立为等式 P(A|B)P(B)=P(AB)=P(B|A)P(A)

这样我们就知道这两者之间的关系了，即 P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} ，贝叶斯公式得证，我们已知P(B|A)求出了P(A|B)，或者反过来用P(A|B)求P(B|A)也行。

有人可能会奇怪被意思是贝叶斯公式不是 P(A_{i}|B)=\frac{P(B|A_{i})P(A_{i})}{\sum_{j=1}^{n}{}P(B|A_{j})P(A_{j})} 吗？

其实仔细观察你就会发现，下面那个复杂的分母实际就是P(B)的全概率公式，之所以写的这么复杂只是因为把分母P(B)用全概率公式表示了。其实我不太喜欢书里把贝叶斯公式也像全概率那样写成分情况讨论的形式，这既不利于理解应用上也不友好，如果真想复杂，就算最简单的加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 都可以写成 P(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i})=\sum_{i=1}^{n}{P(A_{i})}-\sum_{1\leq i\leq j\leq n}^{n}{P(A_{i}A_{j})}+...+(-1)^{n-1}P(A_{1}A_{2}...A_{n})

好了这次的学习笔记就写到这。

（编辑：天瑞地安资讯网）

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